对于矩阵$A$和一个非零向量 $x$，如果对于任意 $x$都有 $x^T A x > 0$，则称这个矩阵正定，同理如果 $x^T A x \ge 0$，则称矩阵半正定。
可以这么看，将矩阵视作某个函数的海森矩阵，也就是记录了该点处的全部曲率信息的矩阵，带入函数在该点处的二次型拟合，如果任意方向都得到正数，就说明函数在该点处呈现一个凹陷，向任意方向都在上升，反之如果出现零，就说明海森矩阵对该方向向量的扭曲效果为0，该点处呈现一个平地或者类似平地的形状。
矩阵是否正定严重影响下降过程的计算，对于很多下降算法，要求代价函数二阶可导，且海森矩阵可逆，这就要求其不能出现二次型为0的奇异点。从图像上反映为卡在鞍点无法下降。